【科学基础】光的平方反比定律的数学公式

光的平方反比定律的数学公式

光的平方反比定律描述了光强随距离增加而成平方反比衰减的物理规律，广泛应用于摄影、照明、光学设计等领域。本文提供公式解析、图示说明及实用计算方法，助你精准掌握光强与距离之间的关系。
光的平方反比定律描述了光强度随着距离增加而减弱的规律，具体来说：

\(I = \frac{P}{4\pi d^2}\)

数学公式
光强度 I 和距离 d 的关系为：

\(\left(\frac{f_1}{f_2}\right)^2 = \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2\)

其中：
I：光强度（单位：流明或勒克斯，具体取决于应用场景）
P：光源发光总功率（单位：流明）
d：光源到目标点的距离（单位：米）

对于摄影中的灯光距离和镜头光圈的调整，公式可以简化为：
\(I_1 \cdot d_1^2 = I_2 \cdot d_2^2\)

光圈与光强的关系
光圈 f（用 f-stop 表示，如 f/2.8, f/4）控制进入相机的光量。光圈值和光强的关系是反比平方关系：

结合平方反比定律，灯光距离和镜头光圈的算法如下：

\(I \propto \frac{1}{f^2}\)

其中：
d1, d2：灯光与被摄物体的两种距离
f1, f2：两种不同光圈值

\(d_2 = d_1 \cdot \frac{f_2}{f_1}\)

光的平方反比定律实例计算
假设：
1. 当前光圈为 f/4，灯到物体的距离为 2 米；
2. 想让光强不变，调整光圈为 f/2.8，问灯需移动到多远？

光的平方反比定律解题思路

根据光圈与灯距的平方反比关系公式：
\(\left(\frac{f_1}{f_2}\right)^2 = \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2\)

两边开方，求 d_2：
\(d_2 = d_1 \cdot \frac{f_2}{f_1}\)

代入数值：
\(d_2 = 2 \cdot \frac{2.8}{4} = 1.4 \text{ 米}\)

答案：为了保持画面亮度一致，在把光圈从 f/4 开大到 f/2.8 时，灯要从 2 米移近到 1.4 米。

总结与实用性
1. 平方反比定律适用于摄影、照明和光学设计，用于计算光强与距离之间的关系。
2. 在摄影中，光圈变化、灯距调整可以通过公式协同计算，以精确控制画面亮度。
3. 使用定制化计算器或摄影应用可以快速完成复杂计算，适用于动态拍摄场景。